סיכום קורס הסתברות

1. משתנה מקרי (מ"מ)

הגדרת משתנה מקרי

מוטיבציה:

מרחב המדגם יכול להכיל תוצאות שאינן מספרים (כמו "עץ" או "פלי"). כדי לעשות מתמטיקה, אנו חייבים לתרגם תוצאות פיזיות למספרים ממשיים.

הגדרה: משתנה מקרי אינו משתנה, אלא פונקציה הממפה את מרחב המדגם לישר הממשי.

X: \Omega \to \mathbb{R}

המ"מ משייך לכל תוצאה במרחב המדגם (מאורע פשוט) $\omega \in \Omega$ ערך ממשי $X(\omega)$. נסמן מ"מ באותיות גדולות (כגון $X, Y$).

דוגמאות בסיסיות

דוגמא 1: ספירת ראשי מטבע

ניסוי: הטלת מטבע פעמיים.
$X$ = מספר הפעמים שנקבל "ראש" (H).

$X(TT) = 0$
$X(TH) = 1$
$X(HT) = 1$
$X(HH) = 2$

דוגמא 2: הפרש עץ/ראש

ניסוי: הטלת מטבע פעמיים.
$Y$ = מספר עץ (T) מינוס מספר ראש (H).

$Y(TT) = 2 - 0 = 2$
$Y(TH) = 1 - 1 = 0$
$Y(HT) = 1 - 1 = 0$
$Y(HH) = 0 - 2 = -2$

2. פונקציית הסתברות של מ"מ בדיד

הגדרה ותכונות

מוטיבציה:

לאחר שהמרנו תוצאות למספרים בעזרת המשתנה המקרי, אנו רוצים לדעת מהי ההסתברות לקבל כל אחד מהערכים הללו.

הגדרה: עבור מ"מ בדיד (המקבל מספר סופי או בן-מניה של ערכים), הפונקציה מציינת מהי ההסתברות שהמ"מ $X$ יקבל את הערך $x$. תסומן ב-$P(X=x)$ או $P_X(x)$.

משפט - תכונות הפונקציה: $$0 \le P_X(x) \le 1$$ $$\sum_{x} P_X(x) = 1$$

דוגמא - הטלת שתי קוביות

נסמן ב-$X$ את סכום התוצאות בהטלת שתי קוביות הוגנות. להלן התפלגות התוצאות:

הדגמה אינטראקטיבית: התפלגות סכום 2 קוביות

חישובי הסתברות והסתברות מותנית

בהינתן פונקציית ההסתברות של הקוביות, ניתן לחשב:

הסתברות פשוטה: $P(X < 4) = P(X=2) + P(X=3) = \frac{1}{36} + \frac{2}{36} = \frac{3}{36}$
הסתברות למאורע משלים: $P(X > 4) = 1 - P(X \le 4) = 1 - (\frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{3}{36} + \frac{4}{36}) = \frac{26}{36}$
הסתברות מותנית: $P(X < 4 | X < 6) = \frac{P(X < 4 \cap X < 6)}{P(X < 6)} = \frac{P(X < 4)}{P(X < 6)} = \frac{3/36}{10/36} = \frac{3}{10}$

3. פונקציית ההתפלגות המצטברת (CDF)

הגדרת פונקציית ההתפלגות

מוטיבציה:

במקום לסכום בכל פעם ערכים בודדים כדי לדעת מה ההסתברות שהתוצאה תהיה "עד לערך מסוים", אנו שומרים פונקציה שכבר מחזיקה את הסכום המצטבר. שימושי מאוד למציאת הסתברויות של טווחים.

הגדרה: הפונקציה המצטברת $F_X(a)$ מסמנת את ההסתברות שהמשתנה המקרי $X$ יקבל ערך קטן או שווה ל-$a$.

F_X(a) = P(X \le a) = \sum_{x \le a} P(X=x)

תכונות הפונקציה המצטברת

פונקציה לא יורדת.
ערכיה בין 0 ל-1: $0 \le F_X(x) \le 1$.
גבולות: $\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$ ו- $\lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1$.
חישוב הסתברות לטווח (קטע חצי פתוח): $P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)$.

דוגמה: מעבר מפונקציית הסתברות (PMF) להתפלגות מצטברת (CDF)

נתונה פונקציית ההסתברות הבאה:

$x$	0	10	25
$P_X(x)$	0.1	0.4	0.5

פונקציית ההתפלגות המצטברת תוגדר כפונקציית מדרגות:

F_X(a) = \begin{cases} 0 & a < 0 \\ 0.1 & 0 \le a < 10 \\ 0.5 & 10 \le a < 25 \\ 1 & 25 \le a \end{cases}

4. תזכורת מתמטית

מוטיבציה:

משתנים מקריים בדידים יכולים לקבל מספר אינסופי (בן מנייה) של ערכים (למשל, כמה פעמים נטיל מטבע עד שנקבל עץ?). לצורך זה, אנו צריכים לדעת לחשב טורים אינסופיים.

סכום סדרה חשבונית

S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)

סכום טור הנדסי אינסופי

עבור $|q| < 1$:

\sum_{i=0}^{\infty} q^i = \frac{1}{1-q}$$ $$\sum_{i=a}^{\infty} q^i = \frac{q^a}{1-q}

טור טיילור של הפונקציה האקספוננציאלית

\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i}{i!} = e^x

נוסחת הבינום וקירוב סטירלינג

בינום של ניוטון:

(x+y)^n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i} y^i

קירוב סטירלינג לעצרת גדול:

n! \approx \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n

5. תרגילים מסכמים

מציאת קבוע חסר בפונקציית הסתברות

תרגיל: מ"מ $X$ נתון בעזרת פונקציית ההסתברות: $P(X=a) = \frac{c}{a}$ עבור $a=1, 2, 3, 4$. מצאו את $c$.

פתרון:

אנו יודעים שסכום כל ההסתברויות שווה ל-1. לכן:

\frac{c}{1} + \frac{c}{2} + \frac{c}{3} + \frac{c}{4} = 1$$ $$c\left(1 + 0.5 + 0.333 + 0.25\right) = 1 \implies \frac{25c}{12} = 1 \implies c = \frac{12}{25}

מ"מ עם אינסוף ערכים (טור הנדסי)

תרגיל: נתונה פונקציית הסתברות: $P(X=a) = \left(\frac{2}{3}\right)^a \cdot \frac{1}{3}$ עבור $a=0, 1, 2, \dots$.
חשבו את $P(X > 4)$.

פתרון:

נשתמש בנוסחת סכום של טור הנדסי אינסופי החל מאיבר $a=5$:

P(X > 4) = \sum_{a=5}^{\infty} \frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^a = \frac{1}{3} \cdot \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^5}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^5}{\frac{1}{3}} = \left(\frac{2}{3}\right)^5

בונוס - הסתברות מותנית: חשבו $P(X > 15 | X > 10)$

P(X > 15 | X > 10) = \frac{P(X > 15 \cap X > 10)}{P(X > 10)} = \frac{P(X > 15)}{P(X > 10)} = \frac{(2/3)^{16}}{(2/3)^{11}} = \left(\frac{2}{3}\right)^5

מילון מושגים

משתנה מקרי (RV)

פונקציה $X: \Omega \to \mathbb{R}$ המשייכת לכל תוצאה במרחב המדגם ערך ממשי. זהו אינו "משתנה" במובן הרגיל, אלא פונקציית מיפוי.

פונקציית הסתברות (PMF)

למשתנה בדיד, פונקציה $P(X=x)$ המחזירה את ההסתברות המדויקת לקבלת הערך המספרי $x$. סכום כל הערכים שלה שווה ל-1.

פונקציית התפלגות מצטברת (CDF)

פונקציה $F_X(a) = P(X \le a)$ הסוכמת את כל ההסתברויות עד לערך $a$. תמיד לא-יורדת וחסומה בין 0 ל-1.

הסתברות מותנית

ההסתברות שמאורע א' יקרה בהינתן שמאורע ב' כבר קרה. מחושבת כיחס בין החיתוך של המאורעות להסתברות של מאורע התנאי: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

שאלות בדיקה עצמית

בדקו את הבנתכם. בחרו בתשובה הנכונה ולחצו על הכפתור כדי לגלות את ההסבר.

1. מהי ההגדרה המתמטית המדויקת של "משתנה מקרי"?

א) ערך מספרי שמשתנה באופן אקראי מניסוי לניסוי. ב) פונקציה הממפה איברים ממרחב המדגם לישר הממשי. ג) הסתברות לקבלת תוצאה ספציפית במרחב מדגם אחיד.

2. עבור פונקציית התפלגות מצטברת $F_X(a)$, כיצד נחשב את ההסתברות $P(2 < X \le 5)$?

א) $F_X(5) - F_X(2)$ ב) $F_X(5) + F_X(2)$ ג) $F_X(5) - F_X(3)$

3. אם $X$ הוא משתנה מקרי בדיד, למה תמיד שווה הביטוי $\sum_x P(X=x)$ (סכום כל ההסתברויות של כל הערכים האפשריים)?

א) לתוחלת המשתנה. ב) תלוי בהתפלגות הספציפית של המשתנה. ג) בדיוק 1.